Η εισαγωγή στη μιγαδική ανάλυση και τις εφαρμογές της καλύπτει τις αναλυτικές συναρτήσεις, τη μιγαδική ολοκλήρωση, τις σειρές, τον λογισμό των ολοκληρωτικών υπολοίπων, τους μιγαδικούς μετασχηματισμούς, και εφαρμογές σε μερικές διαφορικές εξισώσεις. Σκοπός του μαθήματος είναι η εκμάθηση κατάλληλων μαθηματικών τεχνικών που θα καταστήσουν δυνατή τη μελέτη προβλημάτων φυσικής στο πλαίσιο της επιστήμης του μηχανικού.
Πιο συγκεκριμένα θα γίνει ανάλυση των:
- Μιγαδικοί αριθμοί, αναλυτικές συναρτήσεις, εξισώσεις Cauchy-Riemann.
- Αρμονικές συναρτήσεις.
- Εκθετικές, τριγωνομετρικές, λογαριθμικές συναρτήσεις.
- Ολοκληρώματα, Θεώρημα του Cauchy, ολοκληρωτικοί τύποι και ανισότητες του Cauchy.
- Θεώρημα του Liouville και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας.
- Αρχή του του μέγιστου μέτρου.
- Σειρές Taylor και Laurent, λογισμός των υπολοίπων (residues).
- Αρχή του ορίσματος.
- Σύμμορφες απεικονίσεις και μετασχηματισμοί.
Διδασκαλία
Για κάθε εβδομάδα διδασκαλίας σχεδιάζονται τρεις ώρες θεωρία ως εξής:
Θεωρία
Πέμπτη: 14:00 – 15:00, Αίθουσα Μ1
Ώρες Γραφείου Διδάσκοντα
Τετάρτη, 12:00 – 14:00, Κτίριο Ιατρικής Σχολής – MEDLAB (τηλ. 2651-00-7837) – ansakel13@gmail.com
Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα
- Να γράφετε αποτελεσματικά τις μαθηματικές λύσεις με σαφή και συνοπτικό τρόπο.
- Να χρησιμοποιείτε αποτελεσματικά τις πληροφορίες που απαιτούνται για να αποδείξετε τα θεωρήματα και να δημιουργήσετε μαθηματικά αποτελέσματα.
- Να καταδείξετε την ικανότητα ενσωμάτωσης γνώσεων και ιδεών σύνθετης διαφοροποίησης και σύνθετης ολοκλήρωσης με συνεκτικό και ουσιαστικό τρόπο και να χρησιμοποιήσετε κατάλληλες τεχνικές για την επίλυση σχετικών προβλημάτων και για τη δημιουργία θεωρητικών αποτελεσμάτων.
- Να επιδείξετε την ικανότητα να σκεφτείτε κριτικά αποδεικνύοντας μαθηματικές υποθέσεις και δημιουργώντας θεωρήματα από πολύπλοκες αναλύσεις.
- Επιπλέον, οι φοιτητές θα είναι σε θέση: Να λειτουργούν με σύνθετους αριθμούς, να χρησιμοποιούν τη σύνθετη λειτουργία παραγώγων, να χρησιμοποιούν αναλυτικές λειτουργίες, να επιδεικνύουν γνώση της ολοκλήρωσης στο σύνθετο επίπεδο, να χρησιμοποιούν το ολοκληρωμένο θεώρημα Cauchy και την ενοποιημένη φόρμουλα Cauchy, να κατανοήσουν τα υπόλοιπα και τη χρήση τους στην ολοκλήρωση, να καταδεικνύουν την κατανόηση των σύμμορφων απεικονίσεων.
Περιεχόμενο
- Εισαγωγή σε σύνθετους αριθμούς (Διαλέξεις 1-2)
Θα ξεκινήσουμε αυτήν την ενότητα ανακαλύπτοντας την ιστορία των μιγαδικών αριθμών: Πότε και γιατί εφευρέθηκαν; Συγκεκριμένα, θα δούμε το γεγονός ότι η αρχική ανάγκη για μιγαδικούς αριθμούς δεν προέκυψε από τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων (όπως η επίλυση της εξίσωσης z ^ 2 + 1 = 0), αλλά από την μελέτη των κυβικών εξισώσεων. Στη συνέχεια θα καλύψουμε κάποια άλγεβρα και γεωμετρία για να μάθουμε πώς να υπολογίζουμε και να απεικονίζουμε μιγαδικούς αριθμούς. Για το σκοπό αυτό θα μάθουμε επίσης για την πολική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών.
- Σύνθετες λειτουργίες και επανάληψη (Διαλέξεις 3-4)
Η μιγαδική ανάλυση είναι η μελέτη των λειτουργιών που ζουν στο σύνθετο επίπεδο, δηλαδή λειτουργίες που έχουν σύνθετα τμήματα. Ο κύριος στόχος αυτής της ενότητας είναι να εξοικειωθούμε με τέτοιες λειτουργίες. Θα χρησιμοποιήσουμε τετραγωνικά πολυώνυμα ως παράδειγμα στην μελέτη αναλυτικών συναρτήσεων.
- Αναλυτικές συναρτήσεις (Διαλέξεις 5-6)
Κατά τη μελέτη των συναρτήσεων μας ενδιαφέρει συχνά η τοπική τους συμπεριφορά, πιο συγκεκριμένα, για το πώς αλλάζουν οι λειτουργίες καθώς αλλάζει το όρισμα τους. Θα ξεκινήσουμε αυτήν την ενότητα εξετάζοντας ορισμένα πράγματα από τον υπολογισμό και στη συνέχεια θα μάθουμε για την μιγαδική διαφοροποίηση και τις εξισώσεις Cauchy-Riemann.
- Σύνθετη ολοκλήρωση (Διαλέξεις 7-9)
Τώρα που γνωρίζουμε πολύπλοκες διαφοροποιήσεις και αναλυτικές λειτουργίες, είμαστε έτοιμοι να αντιμετωπίσουμε την ολοκλήρωση. Θα ξεκινήσουμε αυτήν την ενότητα μελετώντας καμπύλες (“διαδρομές”) και στη συνέχεια θα εξοικειωθούμε με τη σύνθετη ολοκλήρωση. Στη συνέχεια θα μάθουμε τη φόρμουλα του Cauchy. Θα μελετήσουμε μερικές από τις συνέπειες αυτών των θεωρημάτων, όπως το Θεώρημα του Liouville, η μέγιστη αρχή και, θα μπορέσουμε να αποδείξουμε το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας χρησιμοποιώντας τη μιγαδική ανάλυση.
- Σύμμορφες απεικονίσεις (Διαλέξεις 10-12)
Θα ξεκινήσουμε αυτήν την ενότητα μελετώντας αντίστροφες λειτουργίες αναλυτικών λειτουργιών όπως ο σύνθετος λογάριθμος (αντιστρόφως των εκθετικών) και οι σύνθετες συναρτήσεις ρίζας (αντίστροφη δύναμη). Θα αφιερώσουμε δύο διαλέξεις μιλώντας για πολύ ειδικές σύμμορφες απεικονίσεις, δηλαδή μετασχηματισμούς του Möbius. Θα τελειώσουμε αυτήν την ενότητα με το θεώρημα Riemann mapping.
Συγγράμματα
Το βασικό σύγγραμμα του μαθήματος είναι:
- Μερκουράκης Σ.- Χατζηαφράτης Τ., Εισαγωγή στη μιγαδική ανάλυση
Τελική Βαθμολογία
- Τελικές εξετάσεις 80%
- Ασκήσεις 20%
Προφορική Εξέταση 20 %